Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют
один раз
, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
|
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: \begin Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,25> <4,00>\cdot 100\text<%>=6,25\text<%>\approx 6,3\text <%>$$ |
|
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: \begin Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,05> <4,15>\cdot 100\text<%>\approx 1,2\text <%>$$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений .
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin
п.6. Представление результатов эксперимента
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
- относительная погрешность квадрата \(a^2\) равна удвоенной относительной погрешности
- относительная погрешность куба \(a^3\) равна утроенной относительной погрешности
- относительная погрешность произвольной натуральной степени \(a^n\) равна
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n |
\(\triangle=\frac |
| 1 | 20 | 40 | 4 | \(\frac<40-20> <4+1>=4\) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | \(\frac<200-100> <4+1>=20\) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | \(\frac<30-15> <4+1>=3\) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | \(\frac<400-200> <4+1>=40\) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем \(V_0\), мл |
Абсолютная погрешность \(\triangle V=\frac<\triangle> <2>\), мл |
Относительная погрешность \(\delta_V=\frac<\triangle V> |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text<м>,\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text <м>$$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ \triangle v_1=\frac<10> <2>=5\ (\text<км/ч>),\ \ \triangle v_2=\frac<1> <2>=0,5\ (\text<км/ч>) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54\pm 5)\ \text<км/ч>,\ \ v_2=(72\pm 0,5)\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_<10>+v_<20>,\ \ v_0=54+72=125\ \text <км/ч>$$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ \triangle v=\triangle v_1+\triangle v_2,\ \ \triangle v=5+0,5=5,5\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0\pm 5,5)\ \text <км/ч>$$ Относительная погрешность: $$ \delta_v=\frac<5,5> <126,0>\cdot 100\text<%>\approx 4,4\text <%>$$ Ответ: \(v=(126,0\pm 5,5)\ \text<км/ч>,\ \ \delta_v\approx 4,4\text<%>\)
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки \(d=\frac<0,1>
<2>=0,05\ \text<см>\)
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text<см>,\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin
Источник
Измерение физических величин и оценка погрешностей: Введение в лабораторный практикум по физике, страница 3
1. Совокупность и измеренных значений величины а заносят в таблицу измерений.
2. Находится среднее значение величины
3. Определяются абсолютные погрешности отдельных измерений и заносятся в таблицу
Находится случайная средняя погрешность
и записывается в таблицу.
5. Определяется как сумма средней и приборной погрешностей средняя погрешность многократно измеряемой величины
в) Погрешности косвенно измеряемых величин.
Пусть искомая величина у является функцией m непосредственно измеряемых величин Х 1, Х 2…Х m, для
каждой из которых известно среднее значение и погрешность т.е. . Тогда для среднего значения функции и погрешности по определению имеем:
т.е. абсолютная погрешность на языке математики представляет собой модуль приращения функции при приращении аргументов. Учитывая малость погрешностей по сравнению с результатом , а также известную из математики теорему о дифференциале как главной линейной части приращения функции, можно ( с точностью до членов второго по Δх i ) приращение Δу приближенно заменить дифференциалом.
Где : — частные производные функции f по переменным х;. Откуда заменяя дифференциалы переменных на погрешности и учитывая, что мы ищем максимально возможную погрешность, для средней абсолютной погрешности косвенно измеряемой величины получаем:
Для относительной погрешности соответственно имеем:
Формулы (11), (12) являются исходными для вычисления погрешностей любых косвенно измеряемых величин.
Когда косвенно измеряемая величина представляет собой произведение или степени непосредственно измеряемых величин, тогда целесообразнее вначале найти относительную погрешность по формуле (12), а через неё найти абсолютную.
Например при определении плотности тела цилиндрической формы используется формула
где m – масса, d – диаметр, h – высота непосредственно измеряемые величины, для которых в результате измерений найдены их средние значения и погрешности
Т.к. плотность выражается через произведение и степени непосредственно измеряемых величин, будем вначале находить относительную погрешность. Из (13) имеем
Находим частные производные (ln ρ) но m, d, h, π (здесь учитываем что постоянная π также имеет погрешность см. погрешности табличных величин)
подставляя производные в формулу (12), получаем
соответственно для и получим:
5. Правила округления и согласования результатов измерений.
После проведения измерений и вычислений не менее важно грамотно округлить и записать конечный результат. Для этого существуют следующие правила.
1) Все промежуточные измерения и вычисления делаются с точностью не менее n значащих цифр.
(Точность измерений – n заранее определятся целями эксперимента – научными, учебными и т. д. Мы в учебных целях будем ограничиваться тремя значащими цифрами).
2) Вначале округляется абсолютная погрешность до первой значащей цифры если она больше, равна трём, либо до двух значащих цифр в противном случае.
3) После округления погрешности округляется сам результат таким образом, чтобы последние порядки результата и погрешности совпадали.
Пример; пусть в результате измерения плотности и ускорения свободного падения получены значения:
округляя в соответствии с правилами, имеем:
окончательная запись результата:
6. Порядок выполнения лабораторных работ и оформление отчёта.
Выполнение каждой лабораторной работы проводится по следующей схеме.
1. Познакомится по учебникам или лекциям с теорией соответствующей работы и внимательно изучить описание лабораторной работы.
2. Познакомится с лабораторной установкой, входящими в неё измерительными приборами, изучить последовательность выполнения работы.
3. Аккуратно произвести измерения согласно рекомендациям в описании работы и записать результаты в таблицу измерений. Выписать дополнительные данные необходимые для расчётов.
4. Обработка результатов измерений, расчёт искомых величин и их погрешностей. Протокол измерений и вычислений в черновом варианте представляется преподавателю для проверки.
5. Оформление отчёта о выполненной лабораторной работе (ниже указан порядок оформления отчёта).
6. Защита лабораторной работы
— сдача оформленного отчёта
— ответа на теоретические вопросы по теме работы.
Порядок оформления отчёта.
Отчёт представляется на двойном листе.
На титульной странице записывается полное название лабораторной работы; её номер в методических указаниях; Ф.И.О. студента выполнившего работу; факультет, форма обучения и номер группы.
На внутренних страницах двойного листа производят записи в следующей последовательности.
1. Цель работы: (указана в описании работы)
2. Приборы и материалы: (также указаны в описании. Здесь перечисляются, а на измерительные приборы составляется приборная таблица, где даётся краткая характеристика приборов.
Источник
Оценка погрешностей измерений при выполнении лабораторных работ по физике
Выполнение лабораторных работ связано с измерением различных физических величин и последующей обработкой полученных результатов. Поскольку не существует абсолютно точных приборов и других средств измерения, следовательно, не бывает и абсолютно точных результатов измерения. Погрешности возникают при любых измерениях, и только правильная оценка погрешностей проведенных измерений и расчетов позволяет выяснить степень достоверности полученных результатов.
Абсолютная погрешность измерения
Предположим, что диаметр стержня, измеренный штангенциркулем, оказался равным 14 мм. Можно ли быть уверенным, что он пройдет в “идеальное” отверстие того же диаметра? Если бы этот вопрос был поставлен чисто ”теоретически“, то ответ был бы утвердительным, но на практике может получиться иначе. Диаметр стержня был определен с помощью реального измерительного прибора, следовательно, с некоторой погрешностью. Значит 14 мм — это приближенное значение диаметра – X пр . Определить его истинное значение невозможно, можно только указать некоторые границы достоверности полученного приближенного результата, внутри которых находится истинное значение диаметра нашего стержня. Эта граница называется границей абсолютной погрешности и обозначается ΔX (её часто называют просто абсолютной погрешностью). Поэтому наш стержень может пройти в отверстие, а так же может и не пройти в него: все зависит от того, в каком месте интервала [ X пр — ΔX , X пр + ΔX ] находится истинное значение диаметра нашего стержня. На рисунке 1 показан случай, когда стержень в отверстие не пройдет.
Итак, абсолютная погрешность показывает, насколько неизвестное экспериментатору истинное значение измеряемой величины может отличаться от измеренного значения.
Результат измерения с учетом абсолютной погрешности записывают так:
Относительная погрешность измерения
Значение абсолютной погрешности все же не позволяет в полной мере оценить качество наших измерений. Если, например, в результате измерений установлено, что длина стола с учетом абсолютной погрешности равна (100± 1) см, а толщина его крышки равна (2 ± 1) см, то качество измерений в первом случае выше (хотя граница абсолютной погрешности измерений в обоих случаях одинакова). Качество измерений характеризуется относительной погрешностью ε , равной отношению абсолютной погрешности ΔX к значению величины X пр , получаемой в результате измерения:
При выполнении лабораторных работ выделяют следующие виды погрешностей: погрешности прямых измерений; погрешности косвенных измерений; случайные погрешности и систематические погрешности.
Погрешности прямых измерений
Прямое измерение — э то такое измерение, при котором его результат определяется непосредственно в процессе считывания со шкалы прибора. В нашем первом примере с определением диаметра стержня речь шла как раз о таком измерении. Погрешность прямого измерения обозначается значком Δ. Если вы умеете правильно пользоваться измерительным прибором, то погрешность прямого измерения зависит только от его качества и равна сумме инструментальной погрешности прибора (Δ и) и погрешности отсчета (Δ 9). Таким образом: Δ = Δ и + Δ о
Инструментальная погрешность измерительного прибора (Δи ) определяется на заводе-изготовителе. Абсолютные инструментальные погрешности измерительных приборов, чаще всего используемых для проведения лабораторных работ, приведены в таблице 1.
Источник
Расчёт погрешностей косвенных измерений
Пусть известны две независимо измеренных физических величины и с погрешностями и соответственно. Тогда справедливы следующие правила:
1. Абсолютная погрешность суммы (разности) есть сумма абсолютных погрешностей. То есть, если
Более разумная (учитывающая то, что величины и независимы и маловероятно, что их истинные значения одновременно окажутся на краях диапазонов) оценка получается по формуле:
На всех школьных олимпиадах допускается применение любой из этих двух формул. Аналогичные формулы справедливы для случая нескольких (более двух) слагаемых.
Таким образом, в результате сложения двух величин сначала вычисляется абсолютная погрешность величины, а после этого может быть вычислена относительная погрешность.
2. Относительная погрешность произведения (частного) есть сумма относительных погрешностей.
Как и в предыдущем случае, более разумной будет формула
Аналогичные формулы справедливы для случая нескольких (более двух) множителей.
Таким образом, в результате сложения двух величин сначала вычисляется абсолютная погрешность величины, а после этого может быть вычислена относительная погрешность.
3. Правило для возведения в степень. Если , то .
4. Правило умножения на константу. Если .
5. Более сложные функции величин разбиваются на более простые вычисления, погрешности которых можно рассчитать по формулам представленным выше.
6. Если расчётная формула сложна и не сводиться к описанным выше случаем, то, школьники знакомые с понятием частной производной могут найти погрешность косвенного измерения следующим образом: пусть , тогда
или более простой оценкой:
7. Школьники, не знакомые с производными, могут пользоваться методом границ, который состоит в следующем: пусть нам известно, что и для каждой величины диапазон в котором лежит её истинное значение. Рассчитаем минимальное и максимальное возможное значение величины на области задания величин :
За абсолютную погрешность величины возьмём полуразность максимального и минимального значения:
Правила округления
При обработке результатов измерений часто приходится производить округление. При этом нужно следить, чтобы ошибка, возникающая при округлении, была хотя бы на порядок меньше остальных погрешностей. Однако оставлять слишком много значащих цифр [1]тоже неправильно, поскольку влечёт за собой потерю драгоценного времени. В большинстве случаев бывает достаточно погрешность округлить до двух значащих цифр, а результат до того же порядка, что и погрешность. При записи же конечного ответа принято оставлять в погрешности только одну значащую цифру, за исключением случая, когда эта цифра единица, тогда нужно оставить две значащих цифры в погрешности. Также часто порядок числа выносится за скобку, таким образом, чтобы первая значащая цифра числа осталась либо в порядке единиц, либо в порядке десятых.
Например, пусть были проведены измерения модуля Юнга стали и Алюминия и были получены следующие значения (до округления):
, , , .
Правильно записанный конечный ответ тогда будет иметь вид:
Построение графиков
Во многих задачах, предлагаемых на физических олимпиадах школьников, требуется снять зависимость одной физической величины от другой, а затем проанализировать эту зависимость (сравнить экспериментальную зависимость с теоретической, определить неизвестные параметры теоретической зависимости). График является наиболее удобным и наглядным способом представления данных и их дальнейшего анализа. Поэтому в критериях оценивания большинства экспериментальных задач присутствуют баллы за график, даже если построение графика не требуется явно в условии. Таким образом, если при решении задачи Вы сомневаетесь нужно ли в данной задаче построение графика или нет — сделайте выбор в пользу графика.
Правила построения графика
1. График строится на миллиметровой бумаге. Если на экспериментальном туре олимпиады миллиметровая бумага не была предоставлена сразу, нужно попросить её у организаторов.
2. График нужно подписать в верхней части, чтобы всегда можно было установить, какой участник строил этот график. В работе следует указать, что был построен соответствующий график, на случай если график будет потерян во время проверки.
3. Ориентация миллиметровой бумаги может быть как альбомная, так и книжная.
4. На графике обязательно должны присутствовать координатные оси. Вертикальная ось проводится в левой части графика, а горизонтальная ось в нижней части.
5. Вертикальная ось должна соответствовать значениям функции, а горизонтальная – значениям аргумента.
6. Оси на графике рисуются с отступом 1-2см от края миллиметровой бумаги.
7. Каждая ось должна быть подписана, то есть должна быть указана физическая величина, отложенная вдоль этой оси, и (через запятую) единица её измерения. Записи вида « », « » и « » эквивалентны, но первые два варианта предпочтительнее. Горизонтальная ось подписывается слева у верхнего конца, а вертикальная снизу у правого конца.
8. Оси не обязательно должны пересекаться в точке (0,0).
9. Масштаб графика и положение начала отсчёта на координатных осях выбираются так, чтобы наносимые точки располагались по возможности на всей площади листа. При этом нули координатных осей могут вообще не попадать на график.
10. Линии, проведённые на миллиметровой бумаге через сантиметр, должны попадать на круглые значения величин. С графиком удобно работать, если 1 см на миллиметровой бумаги соответствуют 1, 2, 4, 5 *10 n единиц измерения по данной оси. Часть делений на оси нужно подписать. Подписанные деления должны находится на равном расстоянии друг от друга. Подписанных делений на оси должно быть не менее 4х и не более 10ти.
11. Точки на график нужно наносить так, чтобы они были чётко и ясно видны. Для того чтобы показать, что величина наносимая на график имеет погрешность, из каждой точки проводятся отрезки вверх и вниз, вправо и влево. Длина горизонтальных отрезков соответствует погрешности величины, отложенной по горизонтальной оси, длина вертикальных отрезков — погрешности величины, отложенной по вертикальной. Таким образом, обозначаются области определения экспериментальной точки, называемые крестами ошибок. Кресты ошибок обязательны к нанесению на графике, за исключением случаев: в условии задачи дано непосредственное указание не оценивать погрешности, погрешность составляет меньше 1 мм в масштабе соответствующей оси. В последнем случае необходимо указать, что погрешность значений слишком мала для нанесения по этой оси. В таких случаях считается, что размер точки соответствует ошибке измерения.
12. Стремитесь к тому, чтобы ваш график был удобен, понятен и аккуратен. Стройте его карандашом, чтобы можно было исправить ошибки. Не подписывайте рядом с точкой соответствующее ей значение — это загромождает график. Если на одном графике показано сразу несколько зависимостей, используйте разные символы или цвета для точек. Для определения, какой тип экспериментальных точек, какой зависимости соответствует, используйте легенду графика[2]. На графике допускаются зачёркивания (если подвёл ластик или под рукой не оказалось хорошего карандаша), но делать их нужно аккуратно. Не стоит использовать штрих-корректор — это выглядит некрасиво.
Примечание: все вышеперечисленные правила происходят исключительно из соображений удобства работы с графиком. Однако, при проверке работ на олимпиадах жюри пользуются этими правилами как формальными критериями: плохо выбран масштаб — минус полбалла. Поэтому на олимпиаде следует неукоснительно придерживаться этих правил.
Справа приведен график, построенный не по критериям, а слева, построенный по указанным выше правилам.
Источник