ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
Ознакомьтесь с теорией в конспекте и учебнике (Савельев, т. 1, § 93, 98, 99). Запустите программу. Выберите «Термодинамика и молекулярная физика», «Распределение Максвелла». Нажмите кнопку с изображением страницы во внутреннем окне. Прочитайте теорию и запишите необходимое в свой конспект лабораторной работы. Закройте окно теории, нажав кнопку с крестом в правом верхнем углу внутреннего окна.
• Знакомство с компьютерной моделью, описывающей поведение молекул идеального газа.
• Экспериментальное подтверждение распределения Максвелла молекул идеального газа по скоростям.
• Экспериментальное определение массы молекул в данной модели.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ:
ВЕРОЯТНОСТЬЮ Pi получения некоторого результата измерения называется предел отношения количества измерений, давших этот результат, (N i ) к полному числу измерений N, когда N→∞
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ вероятностью dP v при измерении величины скорости v называется вероятность наличия скорости величиной от v до v + dv. Эта вероятность пропорциональна приращению скорости dv : dP v = F ( v ) dv, где коэффициент пропорциональности F ( v ) называется ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ молекул по величине скорости. Она может быть выражена через другие функции распределения:
F ( v )= φ ( v X ) φ ( v Y ) φ ( v Z )*4 πv 2 , где φ ( v X ), φ ( v Y ), φ ( v Z )— функции распределения для соответствующих проекций скоростей молекул, а f ( v )— их произведение. В § 98 вы можете найти вывод формул, в частности,
СРЕДНЯЯ скорость 
.
СРЕДНЯЯ квадратичная скорость 
.
НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЙ называется скорость v вер , при которой F ( v ) имеет максимум:
МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ
Внимательно рассмотрите рисунок и зарисуйте необходимое в свой конспект лабораторной работы.
Внимательно рассмотрите изображение на экране монитора компьютера. Обратите внимание на систему частиц, движущихся в замкнутом объеме слева во внутреннем окне. Они абсолютно упруго сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Их количество около 100, и данная система является хорошей «механической» моделью идеального газа. В процессе исследований можно останавливать движение всех молекул (при нажатии кнопки «||» вверху) и получать как бы «мгновенные фотографии», на которых выделяются более ярким свечением частицы (точки), скорости которых лежат в заданном диапазоне ∆ v вблизи заданной скорости v (то есть имеющие скорости от v до v + ∆ v ). Для продолжения наблюдения движения частиц «надо нажать кнопку «►►». Запишите в тетрадь значение ∆v и, указанное на экране. Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.
1. Нажмите кнопки «►►», «СТАРТ» и «ВЫБОР» и установите температуру Т1 указанную в табл. 1 для вашей бригады. Запишите для нее значение наивероятнейшей скорости.
2. Установите скорость выделенной группы молекул вблизи минимального заданного в табл. 2 значения.
3. Нажмите клавишу «| |» и подсчитайте на «мгновенной фотографии» количество молекул ∆N , скорости которых лежат в заданном диапазоне ∆ v вблизи заданной скорости молекул и (они более яркие). Результат запишите в табл. 2.
4. Нажмите кнопку «►►» и через 10-20 секунд получите еще одну мгновенную фотографию (нажав кнопку «| |»). Подсчитайте количество частиц с заданной скоростью. Результат запишите в табл. 2.
5. Повторите еще 3 раза измерения для данной скорости и результаты запишите в табл. 2.
6. Измените скорость до значения, указанного в табл. 2, и сделайте по 5 измерений (как в п. 4) для каждой скорости.
7. Установите (как в п. 1) вторую температуру Т 2 из табл. 1. Запишите для нее значение наивероятнейшей скорости.
8. Повторите измерения (по пунктам 2, 3, 4, 5), записывая результат в табл. 3, аналогичную табл. 2.
Источник
Дайте определение вероятности получения некоторого результата измерения
Пример 1. Класс точности измерительного прибора обеспечивает среднюю квадратическую погрешность измерений σx= 0,05, причём ошибка измерений распределена по нормальному закону с нулевым средним значением. При измерении некоторой постоянной величины были получены следующие значения: 5,25; 5,23; 5,29; 5,31; 5,22; 5,26; 5,23; 5,26; 5,26; 5,24; 5,25; 5,21; 5,27; 5,24; 5,28; 5,25. Построить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с доверительной вероятностью γ =0,95.
(В данной задаче необходимо найти точечную оценку математического ожидания — эмпирическое математическое ожидание и построить доверительный интервал для математического ожидания)
Пример 2. При измерении некоторой постоянной величины были получены следующие значения: 5,25; 5,23; 5,29; 5,31; 5,22; 5,26; 5,23; 5,26; 5,26; 5,24; 5,25; 5,21; 5,27; 5,24; 5,28; 5,25. Построить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с доверительной вероятностью 0,95.
(средняя квадратическая ошибка измерительного прибора является неизвестной)
Полученный доверительный интервал оказался более узким, чем интервал, найденный в примере 1. Это связано с тем, что данная конкретная выборка указывает на более высокую реальную точность прибора, чем та, которая определена изготовителем прибора. Однако для подтверждения этого нужно значительно увеличить объём выборки.
Источник
Учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений дневной, вечерней и заочной (дистанционной) форм обучения. М.: 2002. 27 с. Содержание
Ознакомьтесь с теорией в конспекте и учебнике (Савельев, т.1, §93,98,99).
Выберите «Термодинамика и молекулярная физика», «Распределение Максвелла». Нажмите кнопку с изображением страницы во внутреннем окне. Прочитайте теорию и запишите необходимое в свой конспект лабораторной работы. Закройте окно теории, нажав кнопку с крестом в правом верхнем углу внутреннего окна.
Знакомство с компьютерной моделью, описывающей поведение молекул идеального газа
Экспериментальное подтверждение распределения Максвелла молекул идеального газа по скоростям.
Экспериментальное определение массы молекул в данной модели.
ВЕРОЯТНОСТЬЮ Р i получения некоторого результата измерения называется предел отношения количества измерений, давших этот результат, (N i ) к полному числу измерений N, когда N .
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ вероятностью dP V при измерении величины скорости v называется вероятность наличия скорости величиной от v до v + dv. Эта вероятность пропорциональна приращению скорости dv: dP V = F(v) dv, где коэффициент пропорциональности F(v) называется ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ молекул по величине скорости. Она может быть выражена через другие функции распределения
F(v) = (v X )(v Y )(v Z )4v 2 = f(v)4v 2 , где (v X ), (v Y ) и(v Z ) — функции распределения для соответствующих проекций скоростей молекул, а f(v) — их произведение.
В §98 вы можете найти вывод формул, в частности
СреднЯЯ квадратичная скорость v ср.кв = .
Наивероятнейшей называется скорость v ВЕР , при которой F(v) имеет максимум:
МЕТОДИКА и ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ
Внимательно рассмотрите рисунок и зарисуйте необходимое в свой конспект лабораторной работы.
Внимательно рассмотрите изображение на экране монитора компьютера. Обратите внимание на систему частиц, движущихся в замкнутом объеме слева во внутреннем окне. Они абсолютно упруго сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Их количество около 100 и данная система является хорошей «механической» моделью идеального газа. В процессе исследований можно останавливать движение всех молекул (при нажатии кнопки « » вверху) и получать как бы «мгновенные фотографии», на которых выделяются более ярким свечением частицы (точки), скорости которых лежат в заданном диапазоне v вблизи заданной скорости v (т.е., имеющие скорости от v до v+v). Для продолжения наблюдения движения частиц надо нажать кнопку «». Запишите в тетрадь значение v, указанное на экране.
Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.
Нажмите кнопки «», «СТАРТ» и «ВЫБОР» и установите температуру Т 1 , указанную в таблице 1 для вашей бригады. Запишите для нее значение наивероятнейшей скорости.
Установите скорость выделенной группы молекул вблизи минимального заданного в таблице 2 значения.
Нажмите клавишу « » и подсчитайте на «мгновенной фотографии» количество молекул N, скорости которых лежат в заданном диапазоне v вблизи заданной скорости молекул v (они более яркие). Результат запишите в таблицу 2.
Нажмите кнопку «» и через 10-20 секунд получите еще одну мгновенную фотографию (нажав кнопку « »). Подсчитайте количество частиц с заданной скоростью. Результат запишите в табл.2.
Повторите еще 3 раза измерения для данной скорости и результаты запишите в табл.2.
Измените скорость до значения, указанного в табл.2, и сделайте по 5 измерений (как в пункте 4) для каждой скорости.
Установите (как в пункте 1) вторую температуру Т 2 из табл.1. Запишите для нее значение наивероятнейшей скорости.
Повторите измерения (по пунктам 2,3,4,5), записывая результат в табл.3, аналогичную табл.2.
ТАБЛИЦА 1. Примерные значения температуры (не перерисовывать)
ТАБЛИЦЫ 2,3 Результаты измерений при T = ____ K
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА:
Вычислите и запишите в таблицы средние значения количества частиц N ср , скорости которых лежат в данном диапазоне от v до v+v.
Постройте на одном рисунке графики экспериментальных и теоретических зависимостей N ср (v). Теоретические зависимости можно срисовать с экрана монитора компьютера, подобрав соответствующий масштаб по вертикальной оси ординат.
Для каждой температуры определите экспериментальное значение наивероятнейшей скорости молекул v вер .
Постройте график зависимости квадрата наивероятнейшей скорости от температуры
По данному графику определите значение массы молекулы
Подберите газ, масса молекулы которого достаточно близка к измеренной массе молекулы.
Запишите ответы и проанализируйте ответы и графики.
Табличные значения
Масса молекулы 10 -27 кг
Вопросы и задания для самоконтроля
Дайте определение вероятности получения некоторого результата измерения.
Дайте определение элементарной вероятности при измерении величины скорости.
Что такое функция распределения?
Как связаны функции распределения величины и проекции скорости?
Каковы особенности графика функции распределения величины скорости молекул идеального газа?
Как вычисляется среднее значение некоторой физической величины А, если известна ее функция распределения f(A)?
Напишите формулу для вычисления среднего значения скорости молекул.
Напишите формулу для вычисления средней квадратичной скорости молекул.
Напишите условие для вычисления наивероятнейшей скорости молекул.
Напишите выражение для средней скорости молекул идеального газа.
Напишите выражение для средней квадратичной скорости молекул идеального газа.
Напишите выражение для наивероятнейшей скорости молекул идеального газа.
Вычислите на сколько процентов отличаются средняя и средняя квадратичная скорости молекул идеального газа.
Вычислите на сколько процентов отличаются средняя и наивероятнейшая скорости молекул идеального газа.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4_3
ДИФФУЗИЯ В ГАЗАХ
Ознакомьтесь с теорией в конспекте и учебнике (Савельев, т.1, §128, §130).
Выберите «Термодинамика и молекулярная физика», «Диффузия». Нажмите кнопку с изображением страницы во внутреннем окне. Прочитайте теорию и запишите необходимое в свой конспект лабораторной работы. Закройте окно теории, нажав кнопку с крестом в правом верхнем углу внутреннего окна.
Знакомство с компьютерной моделью, описывающей диффузию молекул идеального газа
Экспериментальное подтверждение закона диффузии.
Экспериментальное определение средней скорости теплового движения частиц в данной модели.
При нарушении равновесия макросистема стремится вернуться в равновесное состояние.
ЯВЛЕНИЯМИ ПЕРЕНОСА называются процессы, связанные с возникновением в веществе НАПРАВЛЕННОГО ПЕРЕНОСА (потока) массы, импульса или внутренней энергии.
ДИФФУЗИЯ есть процесс установления внутри фаз вещества равновесного распределения концентраций, который обеспечивается направленным переносом массы этого вещества. Диффузия обусловлена тепловым движением молекул и проявляется в самопроизвольном выравнивании концентраций в смеси нескольких веществ.
САМОДИФФУЗИЯ имеет место при самопроизвольном выравнивании концентрации однородного вещества, если по некоторым причинам равновесное распределение концентрации было нарушено.
ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА есть среднее расстояние, пролетаемое частицей между двумя последовательными столкновениями. Эффективный диаметр частицы есть минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух сталкивающихся частиц.
Если в начальный момент времени имеет место неоднородное распределение плотности вещества вдоль только одной оси (например, ОХ), тогда возникает одномерная диффузия, связанная с переносом массы М вдоль этой оси ОХ. Для двухкомпонентной системы (например, смеси двух газов) одномерная диффузия описывается первым законом Фика:
где dM — масса одного компонента (индексы для характеристик данного компонента пропущены), которая переносится за время dt через элементарную площадку, перпендикулярную оси ОХ, имеющую площадь dS, в направлении убывания плотности этого компонента, градиент плотности первого компонента, D — коэффициент диффузии.
Для смеси «красных» и «зеленых» частиц, имеющих одинаковую массу m каждой частицы, dM = m·dN , = m , а , где dN — количество частиц, проходящих через dS за время dt, которое равно , где разность числа частиц в левом и правом сосудах N = N 2 — N 1 , N 2 = N 0 — N(t) , N 1 = N(t) , X = L отв , объем сосуда V = 20 cм 3 , dS есть площадь отверстия. Решаем уравнение методом разделения переменных:
. Интегрируем слева от 0 до N(t), а справа — от 0 до t и получаем:
МЕТОДИКА и ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ
Внимательно рассмотрите рисунок. Зарисуйте необходимое в конспект.
Обратите внимание на 2 системы частиц, находящихся в начальный момент в левом (красные) и в правом (зеленые) объемах. Они абсолютно упруго сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Количество частиц N 0 каждой компоненты равно 100 и данная система является хорошей “механической” моделью идеального газа.
Нажмите мышью кнопку «Старт» во внутреннем окне экрана.
В процессе исследований можно останавливать движение всех молекул (при нажатии кнопки « » сверху во внешнем окне) и получать как бы “мгновенные фотографии”. Для продолжения наблюдений надо нажать кнопку «», расположенную сверху во внешнем окне. Количество частиц подсчитывается автоматически и высвечивается над соответствующими столбиками. Для установки нового диаметра трубки надо нажать «»сверху во внешнем окне и кнопки «Старт» и «Выбор» внизу во внутреннем окне.
Источник
Примеры решения типовых задач
Пример 1.При проведении измерительного эксперимента получены следующие значения величины: 11,65; 11,41; 11,57; 11,60; 11,50; 11,55; 11,58; 11,58; 11,61; 11,63. Требуется проанализировать полученные результаты наблюдений в целях выявления грубых погрешностей, используя критерий Диксона.
1. Располагаем результаты наблюдений в вариационный возрастающий ряд:
2. Записываем используемую для расчета формулу критерия Диксона:
3. Подставляем в формулу данные нашего эксперимента и рассчитываем Кд:
4. Зададимся значением q=0,10 (десятипроцентным уровнем значимости).
5. Используя табличные данные, выявим критическую область для рассчитанного критерия Кд.
Согласно таблице 2 приложения 3 при n=10 и q=0,15, zдикс =0,35.
Ответ.Полученный ряд результатов наблюдений не имеет в своем составе грубых погрешностей даже при q=0,1. Дальнейшей обработке будет подвергаться весь массив данных.
Пример 2. В процессе контроля были получены следующие результаты измерительных наблюдений за одним из показателей качества: 9,47; 9,49; 9,40; 9,61; 9,39; 9,41; 9,43; 9,49; 9,46; 9,42. Используя критерий Романовского выявить наличие промахов.
1. Располагаем результаты в вариационный возрастающий ряд: 9,39<9,40<9,41<9,42<9,43<9,46<9,47<9,49<9,49<9,61.
2. Выявляем результат, вызывающий сомнение:
Результат 9,61 вызывает сомнение, так как резко отличается от всех остальных (хi=9,61).
3. Запишем основную расчетную формулу:
При расчете результат хi=9,61 все принимаем во внимание.
4. Вычисляем среднее арифметическое без учета сомнительного варианта
5. Находим среднеквадратическое отклонение среднего арифметического результата наблюдения по формуле
| Разность хi – | Квадрат разности | |
| х1— =9,39-9,44=-0,05 | 0,0025 | 0,0118 |
| х2— =9,40-9,44=-0,04 | 0,0016 | |
| х3— =9,41-9,44=-0,03 | 0,0009 | |
| х4— =9,42-9,44=-0,02 | 0,0004 | |
| х5— =9,43-9,44=-0,01 | 0,0001 | |
| х6— =9,46-9,44=0,02 | 0,0004 | |
| х7— =9,47-9,44=0,03 | 0,0009 | |
| х8— =9,49-9,44=0,05 | 0,0025 | |
| х9— =9,49-9,44=0,05 | 0,0025 |
Определяем число степеней свободы f=n-1=9-1=8
Рассчитываем стандартное отклонение:
6. Подставляем полученные расчетные данные в основную формулу (14):
7. Находим табличное значение критерия Романовского для n =10 и принятого уровня значимости q=0,1: =2,29.
8. Вывод: рассчитанное значение .
Ответ:Так как сомнительный результат наблюдения равный 9,61 является грубой погрешностью и в дальнейшей обработке полученных данных не используется.
Пример 3. Некоторую физическую величину измерили двумя независимыми способами. По первому способу получили результаты:38.20,38.00,37.66; по второму – 37.70,37.65,37.55. Значимо ли различаются результаты данных измерений?
1. По формуле (6) рассчитаем среднее арифметическое значение для каждого способа:
2. Рассчитаем дисперсии по формуле (8):
3. Проведем сравнение точности обоих методов, используя F-распределение:
Полученные значения Fэксп, сопоставляем с табличным (таблица 6, приложения 3) значением F распределения при р=0.95 и числах степеней свободы f 1 =2 и f 2 =2.
Так как F табл= 19.00> F эксп=12.78, то расхождение между дисперсиями незначимо и, следовательно, способ измерения физической величины одинаковой точности.
С помощью t-критерия оцениваем расхождение между . Среднее взвешенное двух дисперсий и t-критерий рассчитываем по формулам
Сопоставляем полученное значение t эксп с табличными t 0.95;4 = 2,776 (при р= 0,95 и f = 3+3-2=4). Так как t эксп =1.96 < t 0.95;4 = 2,776, то различие между незначимо. Следовательно, все результаты обоих измерений отражают истинное значение физической величины.
Поэтому данные измерения могут быть представлены в виде
где – среднее арифметическое из всех n1+n2 результатов:
4. Вычисляем среднее значение измерений (среднее арифметическое) по формуле (1):
Определим среднее квадратическое отклонение S по формуле (9):
Рассчитаем доверительные границы действительного значения результата измерения, исходя из данных наблюдений, полученных обоими способами, по формуле (15). Для расчета необходимое значение t0,95;5 находим по таблице (см. приложение 3, табл. 1)
Ответ. Результат измерений физической величины, рассчитанный по данным наблюдений полученных двумя способами, записываем следующим образом: 37.79 ±0.26.
Пример 4. При измерении некоторой величины были получены следующие результаты: 1.31, 1.45,1.42,1.32, 1.30. Опорное значение этой величины Хоп = 1,47.
Определить стандартное отклонение S, точность измерений 0.95 ( ,%) и сделать вывод о наличии систематической ошибки в использовании данного метода измерения.
1. По формуле (6) вычисляем среднее значение измерений (среднее арифметическое):
2.По формуле (9) вычисляем стандартное отклонение S:
3.По формуле (15) рассчитываем доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения. Значение коэффициента Стьюдента находим из таблицы (см. приложение 3, табл.1).
4. Покажем доверительный интервал действительного значения величины:
5. Точность метода обычно выражают в форме относительной погрешности, которая рассчитывается по формуле (22)
Ответ. Данный метод измерения НКПРП имеет систематическую погрешность, так как опорное значение Хоп = 1,47 не попадает в доверительный интервал 1,27 1,45. Точность измерения является очень низкой для данного метода.
Пример 5. Определить, существует ли значимое различие между выборочной средней величиной при определении НКПРП пыли обращающейся в производстве, если при отборе проб следующие результаты: 2.10, 2.12, 2.13, 2.15, 2.15 и средней генеральной совокупностью (для n=80) m=2.15 г/м 3 .
1.Среднее арифметическое значение вычисляем по формуле (6):
2.Стандартное отклонение отдельного определения вычисляем по формуле (9):
3.Из формулы (15) находим значение величины t:
Из таблицы значений коэффициента Стьюдента (смотри таблицу 1 приложения 3) для f=4 и p=0,95, tр, f =2,78, что больше рассчитанного из формулы (15) 2,11.
Ответ. Следовательно, средняя величина не отличается значимо от средней m генеральной совокупности.
Пример 6. При определении коэффициента теплопроводности газобетона были получены результаты: 8.0×10 –4 Вт/м о С и 8.4×10 –4 Вт/м о С. Чему равна точность изменения (eр и D) коэффициента теплопроводности? Сколько параллельных измерений необходимо провести для достижения относительной точности 5%? Оправдано ли будет применение этого способа измерения для достижения такой точности?
1. По формуле (6) находим среднее арифметическое значение:
2.Стандартное отклонение единичного результата вычисляем по формуле (9):
По таблице 1 приложения 3 находим для р=0.95 и f=2-1=1 tр, f =12.7 и по формуле (15) вычисляем точность метода:
3. Определяем относительную точность измерения по формуле (22):
Если необходимо получить D=5%, то
Если принять n=4, то t=2.90. Исходя из данных таблице 1 (см. приложение 3) для р=0.95 и f=4–1=3 tр, f =3.18, что не обеспечивает точности 5%. Если принять n=5, то t=3.24. По таблице 1 (см. приложение 3) для р=0.95 и f=5–1=4 tр, f =2.78, что меньше рассчитанного t=3.24. Следовательно, при n=5 величина t=3.24 дает большую вероятность, чем 0.95.
Ответ. Для достижения относительной погрешности 5% необходимо провести 5 измерений. Так как n<8 (n=5), то можно считать, что данный метод вполне оправдан для достижения точности 5%.
Пример построения гистограммы и проверка гипотезы о распределении случайной величины
Даны 98 независимых равноточных измерений некоторой физической величины:
120.13 120.76 119.39 118.88 121.11 121.66 119.58
118.49 119.00 119.18 120.90 120.53 121.92 119.76
121.19 121.35 120.16 119.31 121.25 119.96 120.84
117.17 120.82 119.59 120.57 119.67 119.92 120.51
121.76 121.31 119.61 119.62 120.59 119.00 119.85
119.95 119.43 121.07 121.84 122.21 120.20 119.56
119.37 119.34 120.89 120.06 119.95 121.47 119.65
119.90 119.75 120.50 119.99 119.54 120.87 120.25
119.55 119.01 120.03 120.71 120.10 118.73 120.90
120.31 119.83 121.46 122.21 118.40 119.36 120.86
119.72 119.22 119.91 120.62 120.63 119.56 120.07
121.68 120.80 120.16 119.92 121.03 120.17 119.43
119.85 120.52 120.45 119.57 121.11 120.06 120.02
121.64 119.91 119.42 119.31 121.39 120.06 119.55
1. При уровне значимости 0.05 исследовать предложенную выборку на однородность. Исключить все грубые ошибки с вероятностью 1–q. Найти среднее значение и эмпирический стандарт S полученной однородной выборки.
2. Сгруппировать однородную выборку по интервалам, построить гистограмму относительных частот, сформировать гипотезу о виде распределения случайной величины Х.
3. Проверить гистограмму о распределении величины Х по критерию согласия Пирсона, установить вероятность р, с которой высказанная гипотеза не согласуется с истинным распределением. Если р<0.50, то данную гипотезу не отвергать, остановиться на данном виде распределения и перейти к пункту 4. Если р>0.50, то выбрать другой закон распределения и снова применить к нему критерий согласия Пирсона. Если при исследовании гипотез о трех различных распределениях (нормальном, логарифмическом и распределении Вейбулла) вероятность несогласования р>0.50, то выбрать лучшее по вероятности распределения.
4. Найти доверительный интервал для математического ожидания M(X)=m и среднего квадратичного отклонения s(X)=s, если задан уровень значимости q, полученной в пункте 3 при выборе распределения величины Х.
1. Исследуем данную выборку на однородность. Для этого все результаты измерений расположим в порядке возрастания. Результат запишем в виде табл. 1.
По условию требуется проверить, не содержит ли данная выборка грубых ошибок на уровне значимости 0.05, то есть из выборки следует исключить те хi , которые с вероятностью 1–q=0.95.
Найдем критическое значение числа
с которым будем сравнивать максимальное отклонение t(xi ). Нанесем на ось все значения из табл. 6.1.
Табл. 6.1. Экспериментальные значения величины Х
| I | xi | i | xi | i | xi | i | xi |
| 117.17 118.40 118.49 118.73 118.88 119.00 119.00 119.01 119.18 119.22 119.31 119.34 119.35 119.36 119.37 119.37 119.39 119.42 119.43 119.43 119.54 119.55 119.55 119.56 119.56 | 119.57 119.58 119.59 119.61 119.62 119.65 119.72 119.75 119.76 119.83 119.85 119.85 119.90 119.91 119.91 119.92 119.92 119.95 119.95 119.96 119.99 120.02 120.03 120.06 120.06 | 120.06 120.07 120.10 120.13 120.16 120.16 120.17 120.20 120.25 120.31 120.45 120.50 120.51 120.52 120.53 120.57 120.59 120.62 120.63 120.71 120.76 120.80 120.82 120.84 120.86 | 120.87 120.89 120.90 120.90 121.03 121.07 121.11 121.11 121.19 121.25 121.31 121.35 121.39 121.46 121.47 121.64 121.66 121.68 121.76 121.84 121.92 122.21 122.21 |
Рис. 6.1. Распределение случайной величины
Как можно видеть из рис. 6.1, наиболее густо точки расположены в интервале [119, 122]. Значение x 1=117.17 резко отличается от интервала [119, 122], что может служить косвенным подтверждением того, что величина x 1 является грубой ошибкой. Остальные значения xi не вызывают особых подозрений, поэтому мы исследуем дополнительно крайние точки x 1, x 2, x 97 и x 98.
Временно отбросив указанные значения, подсчитаем среднее арифметическое значение и эмпирический стандарт:
Источник